Recursos de TI: noviembre 2014

Distribucion T de Student

En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

La Caracterización

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

$\frac{Z}{\sqrt{V/\nu\ }}$

donde

Z tiene una lateral de media nula y mediana 1
x tiene una distribución bilateral con \nu\ grados de confianza
o y z son independientes

Si μ es una constante no nula, el cociente $\frac{Z+\mu}{\sqrt{V/\nu\ }}$ es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad $\mu$ .

Aparición y especificaciones de la distribución t de Student

Supongamos que X₁,..., X_n son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianzaσ². Sea

\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n

la media muestral. Entonces

Z=\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}

sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.

Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relacionado,

T=\frac{\overline{X}_n-\mu}{S_n/\sqrt{n}},

S ^ 2(x) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x}) ^ 2

es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es

f(t) = \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\nu\pi\,}\,\Gamma(\nu/2)} (1+t^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}

donde

\nu\

es igual a n − 1.

La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.

El parámetro

\nu\

representa el número de grados de libertad. La distribución depende de

\nu\

, pero no de

\mu

\sigma

, lo cual es muy importante en la práctica.

FUENTES:

@wikipedia 2014 http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_t_de_Student

@matematicas visuales 2014 http://www.matematicasvisuales.com/html/probabilidad/varaleat/tstudent.html

INTEGRANTES
Julio Cesar Navarro Ballesteros
Omar Paul Monroy Navarrete

DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADA(X2)

En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s². O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada

Los valores de X² son mayores o iguales que 0.

La forma de una distribución X² depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X².

El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.

Las distribuciones X² no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.

Cuando n>2, la media de una distribución X² es n-1 y la varianza es 2(n-1).

El valor modal de una distribución X² se da en el valor (n-3).

La siguiente figura ilustra tres distribuciones X². Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).

La función de densidad de la distribución X² esta dada por:

para x>0

Ejemplo

Encontrar el error tipo II para el ejercicio 2 de esta sección, en donde el ensayo es bilateral pues se quiere ver si la varianza del contenido de azúcar en el almíbar de los duraznos ha cambiado. Suponga una varianza real de 20 y 26.

Solución:
Como este es un ensayo bilateral se tendrán dos valores de s²_L. Los cuales se calcularán utilizando las ji-cuadradas límites que eran de de 2.7 y 19.023.

Estos dos valores se utilizarán para calcular las nuevas ji-cuadradas para calcular el valor de

Aplicaciones

La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la de la denominada prueba χ² utilizada como prueba de independencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.

FUENTES:

@INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03b.html

@WIKIPEDIA

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_%CF%87%C2%B2

INTEGRANTES

Julio Cesar Navarro Ballesteros

Omar Paul Monroy Navarrete

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.

Variable aleatoria de la distribución normal

Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal demedia μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:

1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)

2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:

Distribución normal estándar

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ = 0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

Su función de densidad es: